Mirem el problema d'aprop

A la dècada del 1950, Ernst Straus, matemàtic alemany - americà, es va plantejar:

N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, independentment de la seva geometria, la qual té totes les parets recobertes de miralls, si...

•         No podem escollir la ubicació del llum?
•         Podem escollir on col·loquem el llum?

Abans d’endinsar-nos més en aquest problema, comentar que el llum il·lumina 360º i la llum es reflecteix seguint les lleis de reflexió.

Cal entendre que, quan es diu qualsevol cambra, independentment de la seva geometria, vol dir qualsevol cambra, encara que no sigui la típica habitació amb base rectangular. Podria tenir com a base un polígon qualsevol, no necessàriament regular. O bé podria tenir parets corbes, com la Casa Milà, de Gaudí. 

CASA MILÀ, Antoni Gaudí (foto extreta de Wikipedia)

També podria ser una habitació amb un disseny tan extravagant que només és imaginable en una galeria d’art. Podria tenir una geometria tan fora de l’habitual que només aparegués als malsons dels dissenyadors de IKEA, que ni tan sols amb tot el seu catàleg fossin capaços de moblar-la. Per tant, fins aquí s'ha d'entendre que quan es diu qualsevol cambra, pot ser una cambra qualsevol. 

Quan la qüestió diu “una cambra qualsevol”, de fet, pregunta si totes les cambres satisfan aquesta propietat, si totes les cambres amb les parets recobertes de miralls poden il·luminar-se amb una única font de llum.

En el cas en què no es pot escollir la ubicació del llum, per tal que la resposta sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [la qual té totes les parets recobertes de miralls, independentment de la seva geometria,] quan no podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que tota cambra [...] es pot il·luminar en la seva totalitat mitjançant una única font de llum independentment del lloc on es col·loqui aquesta. En altres paraules, si la resposta és que sí, sigui quina sigui la cambra, sigui on sigui que es col·loqui el llum, la cambra sencera quedaria il·luminada. En canvi, si la resposta és que no, és a dir, si: “No n’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol [...]  quan no podem escollir la ubicació del llum”, vol dir que es pot dissenyar una cambra, amb les parets recobertes per miralls, tal que, segons quin lloc estigui fixat per col·locar el llum, no es podrà il·luminar l’habitació en la seva totalitat.  Dit d’una altra forma, si la resposta és que no, es pot construir una habitació amb les parets recobertes de miralls tal que, si el llum es posa en certa ubicació, aleshores queden regions fosques. Aquesta construcció és el que se’n diu un contraexemple.

En el cas en què es pot triar la ubicació del llum, per tal que la resposta sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [...] quan podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que per  tota cambra [...] existeix alguna ubicació on, si es col·loca el llum, es pot il·luminar l’habitació en la seva totalitat. Dit d’una altra manera, si la resposta és que sí, s’ha de demostrar que sigui quina sigui la cambra [...], sempre hi ha un lloc on si es posa el llum, no hi ha regions fosques. Per contra, si la resposta és que no, és a dir, si: “No n’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol [...] encara que es pugui escollir la ubicació del llum”, vol dir que es pot dissenyar certa cambra amb les parets recobertes de miralls, tal que no existeix cap posició on si es col·loca el llum, quedi l’habitació sencera il·luminada. En altres paraules, es pot construir una habitació amb parets recobertes per miralls tal que, sigui on sigui que es posi el llum, hi haurà regions fosques. Aquesta cambra seria, doncs, un contraexemple.

Aquest és un problema que, tot i no ser exageradament complicat en el seu enunciat, no té una solució trivial. Amb l’objectiu d’anar-se familiaritzant amb el problema, es proposa a continuació una versió simplificada del problema:

N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, independentment de la seva geometria, si...

•        No podem escollir la ubicació del llum?
•         Podem escollir on col·loquem el llum?

T’atreveixes a respondre les preguntes? En un futur post es comentaran els resultats. En aquesta publicació no, perquè no vull fer SPOILERS. Ara per ara t’animo a que hi pensis i si vols fer qualsevol tipus d’aportació pots deixar un comentari.